Synopses & Reviews
Synopsis
Inhaltsangabe: Einleitung: Im klassischen Optionspreismodell von Black und Scholes spielt unter den verschiedenen Parametern die Volatilitat eine besondere Rolle: Sie ist der einzige, welcher nicht direkt am Markt beobachtbar ist. Allerdings kann man nach den umfangreichen empirischen Untersuchungen der Vergangenheit davon ausgehen, da die von Black/Scholes getroffene Annahme einer konstanten Volatilitat nicht aufrechtzuerhalten ist. Die Praxis begegnet diesem Problem, indem sie die Volatilitat entsprechend empirisch beobachteten Mustern anpat. Eine Moglichkeit, ohne solche Manipulationen reale Preise mit dem Modell von Black/Scholes zu erklaren, ist die Modellierung einer stochastischen Volatilitat. Die vorliegende Arbeit betrachtet Black/Scholes-Modellerweiterungen, bei denen die Volatilitat einem eigenen stochastischen Prozess (in der Regel einem mean-reverting Prozess) folgt. Wie man sehen wird, liegt die Schwierigkeit der Modelle vor allem darin, trotz zweier stochastischer Prozesse einen eindeutigen Preis fur die Option zu berechnen, weil der No-Arbitrage Ansatz von Black/Scholes nicht mehr ohne weiteres durchfuhrbar ist. Inhaltsverzeichnis: Inhaltsverzeichnis: 1.Vorwort3 2.Deterministische Volatilitat7 2.1No-Arbitrage Bewertung7 2.2Das Modell von Black/Scholes9 2.2.1Itos Lemma9 2.2.2Die Black-Scholes Differentialgleichung11 2.2.3Losung der Differentialgleichung13 2.3Risikoneutrale Bewertung15 3.Stochastische Volatilitat18 3.1Motivation18 3.2Bewertungsstrategie24 3.3Bias bei Black/Scholes27 4.Eigene Stochastik der Volatilitat31 4.1Garman (1976)36 4.1.1Uberblick36 4.1.2Modellstruktur und Annahmen37 4.1.3Differentialgleichungen nach Garman38 4.1.4Risikoloses Wertpapier39 4.1.5Derivative Wertpapiere40 4.1.6Stochastische Volatilitat40 4.2Hull/White (1987)42 4.2.1Uberblick42 4.2.2Modellstruktur und Annahmen43 4.2.3Analytische Losung48 4.2.4Bemerkungen51 4.3Hull/White (1988)52 4.3.1Uberblick52 4.3.2Modellstruktur und Annahmen53