Synopses & Reviews
Unter Computeralgebra versteht man den Grenzbereich zwischen Algebra und Informatik, der sich mit Entwurf, Analyse, Implementierung und Anwendung algebraischer Algorithmen befasst. Entsprechend dieser Sichtweise stellt der Autor einige Computeralgebra-Systeme vor und zeigt an Beispielen deren Leistungsfähigkeit. Grundlegende Techniken, wie etwa das Rechnen mit großen ganzen Zahlen, werden untersucht. Für komplexe Fragestellungen wie das Faktorisieren von Polynomen, werden mehrere Algorithmen angeboten, da diese verschiedene Stärken haben. Häufig ist der vermeintliche Umweg über andere mathematische Strukturen der schnellste Weg. In den ersten Kapiteln werden die nötigen mathematischen Grundlagen zur Verfügung gestellt. Die folgenden Kapitel können dann weitestgehend unabhängig voneinander gelesen werden. Alle vorgestellten Algorithmen werden begründet und teilweise in einer Pseudoprogrammiersprache dargestellt. Das Buch richtet sich gleichermaßen an Studierende der Mathematik und der Informatik. Weitere Informationen zum Buch unter: http://www.ma.tum.de/~kaplan/CA-Buch/
Review
Aus den Rezensionen: "... Der Anhang erhält zum einen eine sehr schöne Übersicht über die wichtigsten Computeralgebrasysteme, zum anderen eine recht ausführliche Beispielsitzung mit Maple ... Meines Wissens ist das Buch das erste Lehrbuch zur Computeralgebra in deutscher Sprache. Besonders hervozuheben [sic] ist, dass die behandelten Algorithmen durchweg an sorgfältig ausgewählten, nichttrivialen, komplett durchgerechneten Beispielen demonstriert werden. Das steigert den Wert als Lehrbuch erheblich. Ich halte das Buch für eine wertvolle Ergänzung der bereits existierenden Lehrbuchliteratur zur Computeralgebra." (A. Widiger, in: Zentralblatt MATH, 2006, Vol. 1093, Issue 19, S. 79)
Synopsis
Schon seit den 50-er Jahren versucht man, neben rein numerischen Re- nungen auch algebraische Umformungen mit Computern zu erledigen. H- ausgekommen sind dabei kleine und groe Computeralgebra-Systeme, in - nen teilweise Hunderte von Mann-Jahren Entwicklung und eine ungeheure mathematische Expertise stecken. Deshalb bringt es nicht nur viel, wenn man mit solch einem Programm arbeitet, sondern es lohnt sich auch hinter die Kulissen zu schauen. Das vorliegende Buch stellt deshalb einige dieser Systeme vor und zeigt an Beispielen deren Leistungsf] ahigkeit. Grundlegende Techniken, wie etwa das Rechnen mit groen ganzen Zahlen oder Polynomen, werden unt- sucht. Dabei zeigt sich, dass man oft fur ein Problem mehrere Algorithmen ] braucht, weil diese ganz verschiedene Starken haben. Die Algorithmen wer- ] den begrundet, oft in einer Pseudoprogrammiersprache dargestellt, die sich ] nicht in technischen Details verliert, und analysiert. Dies wird begleitet von vielen durchgerechneten Beispielen. Oftmals stellt es sich heraus, dass vermeintliche Umwege uber ande- ] re mathematische Strukturen der schnellste Weg sind, z.B. wenn fur die ] Faktorisierung ganzzahliger Polynome in endlichen Korpern gerechnet wird. ] Da dies algebraische Kenntnisse erfordert, werden die n] otigen Grundlagen m] oglichst kurz und ohne Beweise eingefuhrt, ] so dass Kenntnisse der linearen Algebra zum Verst] andnis ausreichen sollten. Sicher nutzlic ] h sind auerdem Erfahrungen mit einer Programmiersprache.
Table of Contents
Einleitung.- Was ist Computeralgebra? Literatur. Computeralgebra-Systeme.- Grundlagen. Algorithmen und Ihre Komplexität. Kanonische Normalformen. Umformungssysteme. Ideale Resultanten. Partialbruchzerlegungen. Einige Schranken.- Rechnen mit homomorphen Bildern. Grundlegende Ideen. Das Chinesische Restproblem. Der Satz von Hensel.- Grundlegende algebraische Strukturen. Ganze Zahlen. Rationale Zahlen. Algebraische Zahlen und Funktionen. Verschachtelte Radikale. Allgemeine algebraische Ausdrücke. Transzendente Ausdrücke. Endliche Körper. Polynome.- PolynomFaktorisierung. Motivation. Quadratfreie Faktorisierung. Der Berlekamp-Algorithmus. Berlekamp-Hensel Faktorisierung.- A Anhang. CA-Systeme.- B Anhang Beispielsitzungen. Maple. Mathematica. Gap.