Synopses & Reviews
Dieser Band bietet eine erste Einführung in die mathematische Theorie der dynamischen Systeme, die für Studierende des letzten Studienjahres des Bachelor Studiums und für das Master Studium geeignet ist. Aufbauend auf den Grundbegriffen der Topologischen Dynamik und der Ergodentheorie in den ersten beiden Kapiteln dieses Bandes, behandelt das dritte Kapitel den für die Ergodentheorie zentralen Begriff der Entropie, der seinen Ursprung in der statistischen Physik und der Informationstheorie hat, und der die Komplexität eines maßtheoretischen dynamischen Systems quantifiziert. Das vierte Kapitel ist ebenfalls der Entropie gewidmet, diesmal aber im Rahmen der topologischen Dynamik, wo Entropie einen quantitativen Ausdruck für die Verformung eines kompakten metrischen Raumes durch eine stetige Transformation darstellt. Das fünfte und letzte Kapitel gibt einen kleinen Einblick in aktuelle Entwicklungen der Theorie der dynamischen Systeme mit ihren mehrparametrischen Verallgemeinerungen des klassischen Konzepts der ‚Zeitentwicklung' und den daraus entspringenden und zum Teil überraschenden Querverbindungen zu anderen mathematischen Disziplinen. Das in Vorlesungen erprobte Material dieses Bandes kann durch eine den Interessen der Studierenden angepasste Themenauswahl wahlweise für eine ein- oder zweisemestrige Vorlesung eingesetzt werden.
Synopsis
Der Band führt in die mathematische Theorie der dynamischen Systeme ein: Die topologische Dynamik und Ergodentheorie werden in ihren Grundbegriffen beschrieben, der zentrale Begriff der Entropie wird behandelt und aktuelle Entwicklungen der Theorie erörtert.
Synopsis
Vorwort.- I Topologische Dynamik.- 1 Topologische dynamische Systeme.- 2 Symbolische Dynamik.- 3 Invariante Masse.- 4 Aufgaben zu Kapitel I.- II Ergodentheorie.- 5 Ergodens tze.- 6 Mischungseigenschaften.- 7 Anwendungen der Ergodensaetze.- 8 Aufgaben zu Kapitel II.- III Entropie.- 9 Zum Begriff 'Entropie'.- 10 Entropie einer Zerlegung.- 11 Entropie einer Transformation.- 12 Der Ergodensatz der Informationstheorie.- 13 Berechnen der Entropie.- 14 Aufgaben zu Kapitel III.- IV Topologische Entropie.- 15 Definition der topologischen Entropie.- 16 Expansive Hom omorphismen.- 17 Die Entropieabbildung und das Variationsprinzip.- 18 Aufgaben zu Kapitel IV.- V Mehrparametrische dynamische Systeme.- 19 Gruppenaktionen.- 20 Furstenbergs Frage.- 21 Aktionen mittelbarer Gruppen.- 22 Ein Beispiel: Eine Aktion der Gruppe SL2(R).- 23 Aufgaben zu Kapitel V.- Literaturverzeichnis. Index.
Synopsis
Dieses Buch bietet eine erste Einführung in die mathematische Theorie der dynamischen Systeme, die für Studierende des letzten Studienjahres des Bachelor Studiums und für das Master Studium geeignet ist. Aufbauend auf den Grundbegriffen der Topologischen Dynamik und der Ergodentheorie in den ersten beiden Kapiteln behandelt das dritte Kapitel den für die Ergodentheorie zentralen Begriff der Entropie, der seinen Ursprung in der statistischen Physik und der Informationstheorie hat, und der die Komplexität eines maßtheoretischen dynamischen Systems quantifiziert. Das vierte Kapitel ist ebenfalls der Entropie gewidmet, diesmal aber im Rahmen der topologischen Dynamik,
About the Author
Manfred Einsiedler ist Professor für Mathematik an der ETH Zürich. Klaus Schmidt ist Professor für Mathematik an der TU Wien.
Table of Contents
I Topologische Dynamik.- 1 Topologische dynamische Systeme.- 2 Symbolische Dynamik.- 3 Invariante Masse.- II Ergodentheorie.- 4 Ergodensätze.- 5 Mischungseigenschaften.- 6 Anwendungen der Ergodensaetze.- III Entropie.- 7 Zum Begriff ‚Entropie'.- 8 Entropie und Codierung.- 9 Entropie einer Zerlegung.- 10 Entropie einer Transformation.- 11 Der Ergodensatz der Informationstheorie.- 12 Berechnen der Entropie.- 13 Topologische Entropie.- 14 Die Entropieabbildung und das Variationsprinzip.- IV Aktionen anderer Gruppen.